相關係數的表達

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相關係數的表達


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解，假定有兩證券，收益率分別為Ra，Rb，收益率峰值分別為Ram，Rbm，均值分別為Ma，Mb，並且均服從正弦波動，週期相同（比如均等於經濟週期），相差為φ，則證券A的收益率為

R_a=M_a+R_am∙sin⁡t

證券B的收益率為

R_b=M_b+R_bm∙sin⁡(t+φ)

於是兩證券A和B的相關係數可以表示為

當時間T涵蓋範圍為週期的整數倍，或足夠長時，該考察的時間段內的均值就分別等於Ma，Mb。即

∫_0^T▒(M_a+R_am∙sin⁡t)  □(24&dt)=∫_0^(2π∙n)▒(M_a+R_am∙sin⁡t )  □(24&dt)=M_a

為方便討論，我們假定時間t涵蓋的範圍足夠長，則有

r(A,B)=(1/2π ∫_0^T▒{(R_am∙sin⁡t )×[R_bm∙sin⁡(t+φ) ]}  □(24&dt))/(√(2&1/2π ∫_0^T▒(〖R_am〗^2∙sin^2⁡t)  □(24&dt))×√(2&1/2π ∫_0^T▒[〖R_bm〗^2∙sin^2⁡(t+φ) ]  □(24&dt)))=(1/2π ∫_0^(2π∙n)▒{(R_am∙sin⁡t )×[R_bm∙sin⁡(t+φ) ]}  □(24&dt))/(√(2&1/2π ∫_0^(2π∙n)▒(〖R_am〗^2∙sin^2⁡t)  □(24&dt))×√(2&1/2π ∫_0^(2π∙n)▒[〖R_bm〗^2∙sin^2⁡(t+φ) ]  □(24&dt)))=(1/2π ∫_0^2π▒[sin⁡t×sin⁡(t+φ) ]  □(24&dt))/(1/2π √(2&∫_0^2π▒sin^2⁡t  □(24&dt))×√(2&∫_0^2π▒sin^2⁡(t+φ)  □(24&dt)))=(1/2π×π cos⁡φ)/(1/2π×√π×√π)=cos⁡φ

上式中，方差表達如下。

lim┬(k→∞)⁡∑_(n=0)^k▒〖1/k  sin^2⁡(2π/k n) 〗=∫_0^2π▒1/2π  sin^2⁡t □(24&dt)

這樣，變化方向即可以用相差φ來解釋。

對sin⁡t   sin⁡(t+φ)積分得，

(t cos⁡φ)/2-sin⁡(2t+φ)/4+С

取0~2π得，π cos⁡φ。

對sin^2⁡t積分得，

-sin⁡(2t)/4+t/2+С

取0~2π得，π。

對sin^2⁡(t+φ)積分得，

-sin⁡(2t+2 φ)/4+t/2+φ/2+С

取0~2π得，π。

當兩證券變化方向完全相反時，φ＝π+2π∙n，r(A,B)=cos⁡〖(π+2π∙n)＝〗-1。

當兩證券變化方向完全相同時，φ＝2π∙n，r(A,B)=cos⁡〖(2π∙n)＝〗 1。