債券計息次數與債券價值的關係

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債券計息次數與債券價值的關係

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因論壇不支持公式和圖表的表現，詳情請參閱附件。

這裏先建立債券模型，再探討債券計息次數與債券價值的關係。

得出的結論，與市面上CPA輔導教參的結論不同。結論如下。

在票面利率i固定的情況下，不論債券是平價，溢價還是折價發行，隨著計息次數增加，年實際利率也在增大，因而債券價值也隨之增加。

使用的工具是Microsoft Mathematics4.0 (http://www.microsoft.com/zh-cn/download/details.aspx?id=15702)和Microsoft MathematicsAdd-In for Word and OneNote(http://www.microsoft.com/zh-cn/download/details.aspx?id=17786)。

有興趣的朋友，可以用此軟體或其他軟體(如MatLab等)，進行檢驗。

還有興趣的，可以利用該模型，對各種久期進行推導。日後有空，本人亦將進行此工作，並與大家分享。

定義：

P：本金

I：年利息

i：報價年利率（名義年利率，即票面利率i=I/P）

i_r：年實際利率（即年有效利率）

m：年計息次數

r：年必要報酬率

r_m：計息期內必要報酬率

i_m：計息期內實際利率

V_p：債券價值

由上述定義有，1+r=(1+r_m)^m得，r_m=〖(1+r)〗^(1⁄m)-1≈r/m

由上述定義有，1+i_r=〖(1+i/m)〗^m得，i=m×[〖(1+i_r)〗

故對債券價值V_p有，

V_p=I∙(P⁄A,r,n)+P∙(P⁄(F,r,n))=P∙i/m∙(P⁄A,r_m,mn)+P∙(P⁄(F,r_m,mn))=P∙i/m∙(P⁄A,r_m,mn)+P∙(P⁄(F,r,n))=P∙[i/m∙(1-(1+r_m)^(-mn))/r_m +(1+r_m )^(-mn) ]=P∙[i/m∙(1-(1+r_m )^(-mn))/r_m +(1+r)^(-n)]=P∙[i/m∙(1-(1+r)^(-n))/(〖(1+r)〗^(1⁄m)-1)+(1+r)^(-n)]=P∙[i/m∙1/(〖(1+r)〗^(1⁄m)-1)+(1-i/m∙1/(〖(1+r)〗

取i=m×[〖(1+i_r)〗代入，有，

V_p=P∙[((1+i_r )^(1⁄m)-1)/((1+r)^(1⁄m)-1)+(1-((1+i_r)^(1⁄m)-1)/((1+r)^(1⁄m)-1))*(1+r)^(-n) ]=P∙{(〖(1+i_r)〗^(1⁄m)-1)/(〖(1+r)〗^(1⁄m)-1)*[1-(1+r)^(-n)]+(1+r)^(-n) }

當i_r=r，即年實際利率＝年必要報酬率時「與票面利率i無關」，V_p=P，平價發行。

當i_r>r，即年實際利率>年必要報酬率時「與票面利率i無關」，V_p>P，溢價發行。

當i_r<r，即年實際利率<年必要報酬率時「與票面利率i無關」，V_p<P，折價發行。

上述關係證明如下。

對於債券價值V_p與計息次數m的關係，可以通過作圖與求偏微分得出。作圖最直觀，根據等式

V_p=P∙[i/m∙(1-(1+r)^(-n))/(〖(1+r)〗

作下圖。

P=10*100=1,000，i=6%，r=6%，n=2，橫軸為m，縱軸為Vp。

可見，在平價發行的情況下，隨著計算次數m的增加，債券價值Vp也隨之增加。

P=10*100=1,000，i=6%，r=4%，n=2，橫軸為m，縱軸為Vp。

可見，在溢價發行的情況下，隨著計算次數m的增加，債券價值Vp也隨之增加。

P=10*100=1,000，i=6%，r=8%，n=2，橫軸為m，縱軸為Vp。

可見，在折價發行的情況下，隨著計算次數m的增加，債券價值Vp也隨之增加。

也即，在票面利率i固定的情況下，祇要計息次數增加，年實際利率就在增大，因而債券價值Vp也隨之增加。

債券價值V_p與計息次數m的關係也可以通過計算偏導數得出，即，

∂ V_p/∂m=∂ (P∙[i/m∙(1-(1+r)^(-n))/(〖(1+r)〗^(1⁄m)-1)+(1+r)^(-n)])/∂m=P∙i∙[1-(1+r)^(-n) ]∙((ln⁡(r+1) (r+1)^(1/m))/(m^3 ((r+1)^(1/m)-1)^2 )-1/(m^2 ((r+1)^(1/m)-1) ))

令

∂ V_p/∂m=P∙i∙[1-(1+r)^(-n) ]∙((ln⁡(r+1)  (r+1)^(1/m))/(m^3  ((r+1)^(1/m)-1)^2 )-1/(m^2  ((r+1)^(1/m)-1) ))=0

則有，

ln⁡(r+1)  (r+1)^(1/m)=m [(r+1)^(1/m)-1]

同樣，為了求得令上式為零的m，我們可以通過作圖來觀察。對下式作圖，

(ln⁡(r+1)  (r+1)^(1/m))/(m^3  ((r+1)^(1/m)-1)^2 )-1/(m^2  ((r+1)^(1/m)-1) )

有，

r=6%，橫軸為m，縱軸為上式的值。可見，在m>1的區域裡，上式總大於零。但上式所代表的圖形在m屬於[0,1]的區間時，表現卻不同。我們把r放大10倍，即r=60%，作下圖。

r=60%，橫軸為m，縱軸為上式的值。可見，在m屬於[0,1]區間內有個峰值。

證明結束。

取r_m=〖(1+r)〗^(1⁄m)-1≈r/m的近似，有，

V_p=P∙[i/r+(1-i_r )∙(1-r)^(-n) ]

當i_r=r，即實際年利率等於年必要報酬率時，平價發行。

當m=1，即年計息次數為1時，i_r=i。

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下面給出更全面的討論。

財務成本管理教材和輔導書認為，債券計息次數對債券價值的影響取決於債券是折價、平價還是溢價發行。這個說法是不全面的。本文將援引教材的例子說明，並附上更具一般性的代數證明。

【教材例5-1】ABC公司擬於20×1年2月1日發行面額為1,000元的債券，其票面利率為8%，每年2月1日計算並支付一次利息，並於5年後的1月31日到期。同等風險投資的必要報酬率為10%，則債券的價值為：
債券的價值=80×（P/A，10%，5）+1,000×（P/F，10%，5）
=80×3.791+1,000×0.621
=303.28+621
=924.28（元）

【教材例5-2】有一債券面值為1,000元，票面利率為8%，每半年支付一次利息，5年到期。假設年折現率為10%。
按慣例，票面利率為按年計算的報價利率，每半年計息時按報價利率的1/2計算利息，即按4%計息，每次支付40元。折現率按同樣方法處理，每半年期的折現率按5%確定。該債券的價值為：
PV=（80/2）×（P/A，10%÷2，5×2）+1,000×（P/F，10%÷2，5×2）
=40×7.7217+1,000×0.6139
=308.868+613.9
=922.768（元）

然而，上述計息是錯誤的。

原因在於，每半年期的折現率不是10%/2＝5%，而是(1+10%)^(1/2)-1＝4.88%。按這個折現率重新計息的債券價值為：
PV=（80/2）×（P/A，4.88%，5×2）+1,000×（P/F，4.88%，5×2）
=40×7.7666+1,000×0.6209
=310.664+620.921
=931.585（元）

因此，隨著計息期的縮短，債券價值的變化，取決於對折現率的假定。詳細證明過程詳附件「債券模型」。

還有個需要注意的問題是，教材上有這樣一段話，至少從2008的教材即已開始有，在「債券價值與折現率」一節中。

「折現率也有實際利率（週期利率）和名義利率（報價利率）之分。凡是利率，都可以分為名義的和實際的。當一年內要複利幾次時，給出的年利率是名義利率，名義利率除以年內複利次數得出實際的週期利率。對於這一規則，票面利率和折現率都需要遵守，否則就破壞了估價規則的內在統一性，也就失去了估價的科學性。在計算債券價值時，除非特別指明，折現率與票面利率採用同樣的計息規則，包括計息方式（單利還是複利）、計息期和利息率性質（報價利率還是實際利率）。」

現實中，週期利率「即計息期利率」是直接用票面利率除以計息次數得來的。例如，票面利率為8%，一年計息一次的債券，假若變為一年計息兩次，其票面利率一般會修改為7.8461=2*3.9230%，因為(1+3.9230%)^2=1+8%，也就是說，一般情況下，在實務中，週期利率「即計息期利率」總是等於票面利率除以計息次數，用的是算術平均。

但必要報酬率的計算，也即折現率的計算，在實務中，則必然採用幾何平均的辦法。

可惜的是，這一錯誤至少從2008的教材即已開始，每年那麼多輔導的老師和學習的學生，發現這一問題的應該不在少數，大約很少人質疑或深究吧。


















补充内容 (2014-12-11 22:17):
無論計息次數如何，期末本金的折現價值是不變的，其對應的折現系數也不變。這裡可以清楚地看到，教材中期末本金的折現系數運用出現了錯誤。（P/F，10%，5）=（P/F，4.88%，5×2）=0.6209。（P/F，10%÷2，5×2）=0.6139